U ovoj publikaciji razmotrit ćemo što je linearna kombinacija nizova, linearno zavisnih i neovisnih nizova. Navest ćemo i primjere za bolje razumijevanje teorijskog gradiva.
Definiranje linearne kombinacije nizova
Linearna kombinacija (LK) termin s1S2, …, sn matrica A zove se izraz sljedećeg oblika:
aS1 + αs2 + … + αsn
Ako su svi koeficijenti αi su jednaki nuli, pa je LC trivijalan. Drugim riječima, trivijalna linearna kombinacija jednaka je nultom redu.
Na primjer: 0 · s1 + 0 · s2 + 0 · s3
Prema tome, ako je barem jedan od koeficijenata αi nije jednako nuli, tada je LC netrivijalan.
Na primjer: 0 · s1 + 2 · s2 + 0 · s3
Linearno ovisni i nezavisni redovi
Sustav nizova je linearno ovisna (LZ) ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija, koja je jednaka nultoj liniji.
Stoga slijedi da netrivijalni LC može u nekim slučajevima biti jednak nultom nizu.
Sustav nizova je linearno neovisni (LNZ) ako je samo trivijalni LC jednak nultom nizu.
Napomene:
- U kvadratnoj matrici, sustav redova je LZ samo ako je determinanta ove matrice nula (o = 0).
- U kvadratnoj matrici, sustav redova je LIS samo ako determinanta ove matrice nije jednaka nuli (o ≠ 0).
Primjer problema
Otkrijmo je li sustav nizova
Odluka:
1. Prvo, napravimo LC.
α1{3 4} + a2{9 12}.
2. Sada saznajmo koje vrijednosti treba uzeti α1 и α2tako da je linearna kombinacija jednaka nultom nizu.
α1{3 4} + a2{9 12} = {0 0}.
3. Napravimo sustav jednadžbi:
4. Podijelite prvu jednadžbu s tri, drugu s četiri:
5. Rješenje ovog sustava je bilo koje α1 и α2, Sa α1 = -3a2.
Na primjer, ako α2 = 2tada α1 = -6. Zamjenjujemo ove vrijednosti u gornji sustav jednadžbi i dobivamo:
Odgovor: pa linije s1 и s2 linearno ovisna.