U ovoj ćemo publikaciji razmotriti što je Gaussova metoda, zašto je potrebna i koji je njezin princip. Također ćemo na praktičnom primjeru pokazati kako se metoda može primijeniti za rješavanje sustava linearnih jednadžbi.
Opis Gaussove metode
Gaussova metoda je klasična metoda sekvencijalnog uklanjanja varijabli korištenih za rješavanje . Ime je dobio po njemačkom matematičaru Carlu Friedrichu Gaussu (1777.-1885.).
No, prvo se prisjetimo da SLAU može:
- imati jedno jedino rješenje;
- imaju beskonačan broj rješenja;
- biti nekompatibilni, tj. nemati rješenja.
Praktične prednosti
Gaussova metoda odličan je način za rješavanje SLAE koji uključuje više od tri linearne jednadžbe, kao i sustave koji nisu kvadratni.
Princip Gaussove metode
Metoda uključuje sljedeće korake:
- ravno – proširena matrica koja odgovara sustavu jednadžbi, reducira se putem iznad redaka na gornji trokutasti (stepenasti) oblik, tj. ispod glavne dijagonale trebaju biti samo elementi jednaki nuli.
- natrag – u rezultirajućoj matrici elementi iznad glavne dijagonale također su postavljeni na nulu (donji trokutasti prikaz).
Primjer SLAE rješenja
Riješimo donji sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.
Riješenje
1. Za početak predstavljamo SLAE u obliku proširene matrice.
2. Sada je naš zadatak resetirati sve elemente ispod glavne dijagonale. Daljnje radnje ovise o specifičnoj matrici, u nastavku ćemo opisati one koje se odnose na naš slučaj. Prvo mijenjamo retke, postavljajući njihove prve elemente uzlaznim redoslijedom.
3. Od drugog reda dva puta oduzmite prvi, a od trećeg – utrostručite prvi.
4. Dodajte drugi red trećem retku.
5. Oduzmite drugu liniju od prve linije, a treću liniju istovremeno podijelite s -10.
6. Prva faza je završena. Sada moramo dobiti nulte elemente iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, od prvog retka oduzmite trećinu pomnoženu sa 7, a u drugu dodajte trećinu pomnoženu s 5.
7. Konačna proširena matrica izgleda ovako:
8. Odgovara sustavu jednadžbi:
Odgovor: korijen SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.