Sadržaj
U ovoj publikaciji razmotrit ćemo osnovna svojstva visine jednakostraničnog (pravilnog) trokuta. Također ćemo analizirati primjer rješavanja problema na ovu temu.
Bilješka: trokut se zove jednakostraničniako su mu sve strane jednake.
Svojstva visina u jednakostraničnom trokutu
Svojstvo 1
Svaka visina u jednakostraničnom trokutu je i simetrala, središnja i okomita simetrala.
- BD – visina spuštena u stranu AC;
- BD je medijan koji dijeli stranicu AC na pola, tj AD = DC;
- BD – simetrala kuta ABC, tj. ∠ABD = ∠CBD;
- BD je središnja okomica na AC.
Svojstvo 2
Sve tri visine u jednakostraničnom trokutu imaju jednake duljine.
AE = BD = CF
Svojstvo 3
Visine u jednakostraničnom trokutu u ortocentru (sjecištu) dijele se u omjeru 2:1, računajući od vrha iz kojeg su povučene.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Svojstvo 4
Ortocentar jednakostraničnog trokuta je središte upisane i opisane kružnice.
- R je polumjer opisane kružnice;
- r je polumjer upisane kružnice;
- R = 2r (slijedi iz Svojstva 3).
Svojstvo 5
Visina u jednakostraničnom trokutu dijeli ga na dva jednakopovršinska (jednakopovršinska) pravokutna trokuta.
S1 =S2
Tri visine jednakostraničnog trokuta dijele ga na 6 pravokutnih trokuta jednakih površina.
Svojstvo 6
Znajući duljinu stranice jednakostraničnog trokuta, njegova se visina može izračunati po formuli:
a je stranica trokuta.
Primjer problema
Polumjer kružnice opisane oko jednakostraničnog trokuta je 7 cm. Pronađite stranicu ovog trokuta.
Riješenje
Kako znamo iz svojstva 3 и 4, polumjer opisane kružnice je 2/3 visine jednakostraničnog trokuta (h). Posljedično, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Sada ostaje izračunati duljinu stranice trokuta (izraz je izveden iz formule u Svojstvo 6):
