Thalesov teorem: formulacija i primjer rješenja problema

U ovoj publikaciji razmotrit ćemo jedan od glavnih teorema u geometriji razreda 8 - Thalesov teorem, koji je dobio takvo ime u čast grčkog matematičara i filozofa Thalesa iz Mileta. Također ćemo analizirati primjer rješavanja problema kako bismo učvrstili prezentirani materijal.

Izjava teorema

Ako se na jednoj od dviju ravnih linija izmjere jednaki segmenti i kroz njihove krajeve povuku paralelne crte, tada će, prelazeći drugu ravnicu, na njoj odrezati međusobno jednake segmente.

• A₁A₂ = A₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

Bilješka: Međusobno sjecište sekanti ne igra nikakvu ulogu, tj. teorem vrijedi i za pravce koji se sijeku i za paralelne. Položaj segmenata na sekantima također nije važan.

Generalizirana formulacija

Talesov teorem je poseban slučaj teoremi o proporcionalnom segmentu*: paralelne linije sijeku proporcionalne segmente na sekantima.

U skladu s tim, za naš gornji crtež vrijedi sljedeća jednakost:

* jer su jednaki segmenti, uključujući, proporcionalni s koeficijentom proporcionalnosti jednakim jedan.

Inverzni Thalesov teorem

1. Za sjeciste sekanti

Ako pravci sijeku dva druga pravca (paralelna ili ne) i na njima odsjeku jednake ili proporcionalne segmente, počevši od vrha, tada su ti pravci paralelni.

Iz inverzne teoreme slijedi:

Obavezni uvjet: jednaki segmenti trebaju početi od vrha.

2. Za paralelne sekante

Segmenti na obje sekante moraju biti međusobno jednaki. Samo u ovom slučaju teorem je primjenjiv.

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ = A₂A₃ =B₂B₃ ...

Primjer problema

S obzirom na segment AB na površini. Podijelite ga na 3 jednaka dijela.

Riješenje

Crtanje iz točke A direktan a i označite na njemu tri uzastopna jednaka segmenta: AC, CD и DE.

krajnja točka E na ravnoj liniji a spojiti točkom B na segmentu. Nakon toga, kroz preostale točke C и D paralelno BE nacrtajte dvije linije koje sijeku segment AB.

Tako nastale sjecišne točke na segmentu AB dijele ga na tri jednaka dijela (prema Thalesovom teoremu).