Nalaženje inverzne matrice

U ovoj ćemo publikaciji razmotriti što je inverzna matrica, a također ćemo, koristeći praktičan primjer, analizirati kako se može pronaći pomoću posebne formule i algoritma za sekvencijalne akcije.

Definicija inverzne matrice

Prvo, prisjetimo se što su recipročne vrijednosti u matematici. Recimo da imamo broj 7. Tada će njegov inverz biti 7^-1 or ¹/₇. Ako pomnožite ove brojeve, rezultat će biti jedan, tj. 7 7^-1 = 1.

Gotovo isto s matricama. Preokrenuti zove se takva matrica, pomnoživši je s izvornom, dobivamo identičnu. Ona je označena kao A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

Da biste pronašli inverznu matricu, morate biti u stanju izračunati matrice, kao i imati vještine za izvođenje određenih radnji s njima.

Treba odmah napomenuti da se inverz može pronaći samo za kvadratnu matricu, a to se radi pomoću formule u nastavku:

|A| – determinanta matrice;

A^T_M je transponirana matrica algebarskih sabiranja.

Bilješka: ako je determinanta nula, tada inverzna matrica ne postoji.

Primjer

Pronađimo matricu A dolje je naličje toga.

Riješenje

1. Najprije pronađimo determinantu zadane matrice.

2. Sada napravimo matricu koja ima iste dimenzije kao originalna:

Moramo smisliti koji brojevi bi trebali zamijeniti zvjezdice. Počnimo s gornjim lijevim elementom matrice. Minor mu se nalazi križanjem retka i stupca u kojem se nalazi, odnosno u oba slučaja na broju jedan.

Broj koji ostaje nakon precrtane je traženi umanjenik, tj M₁₁ = 8.

Slično, nalazimo minore za preostale elemente matrice i dobivamo sljedeći rezultat.

3. Definiramo matricu algebarskih adicija. Kako ih izračunati za svaki element, razmotrili smo zasebno.

Na primjer, za element a₁₁ algebarsko zbrajanje smatra se kako slijedi:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Izvršite transpoziciju dobivene matrice algebarskih sabiranja (tj. zamijenite stupce i retke).

5. Ostaje samo upotrijebiti gornju formulu za pronalaženje inverzne matrice.

Odgovor možemo ostaviti u ovom obliku, bez dijeljenja elemenata matrice s brojem 11, jer u ovom slučaju dobivamo ružne razlomke.

Provjera rezultata

Kako bismo bili sigurni da smo dobili inverziju izvorne matrice, možemo pronaći njihov produkt, koji bi trebao biti jednak matrici identiteta.

Kao rezultat, dobili smo matricu identiteta, što znači da smo sve napravili kako treba.