Fermatov mali teorem

U ovoj publikaciji razmotrit ćemo jedan od glavnih teorema u teoriji cijelih brojeva –  Fermatov mali teoremnazvan po francuskom matematičaru Pierreu de Fermatu. Također ćemo analizirati primjer rješavanja problema kako bismo učvrstili prezentirani materijal.

Izjava teorema

1. Inicijal

If p je prost broj a je cijeli broj koji nije djeljiv sa ptada a^p-1 - 1 podijeli p.

Formalno se piše ovako: a^p-1 1 JPY (protiv p).

Bilješka: Prost broj je prirodan broj koji je djeljiv samo sa XNUMX i sam sa sobom bez ostatka.

Na primjer:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• broj 15 podijeli 5 bez ostatka.

2. Alternativa

If p je prost broj, a bilo koji cijeli broj, dakle a^p usporedivo sa a modul p.

a^p ≡ a (protiv p)

Povijest pronalaženja dokaza

Pierre de Fermat formulirao je teorem 1640. godine, ali ga nije sam dokazao. Kasnije je to učinio Gottfried Wilhelm Leibniz, njemački filozof, logičar, matematičar itd. Vjeruje se da je već imao dokaz 1683. godine, iako on nikada nije objavljen. Zanimljivo je da je Leibniz sam otkrio teorem, ne znajući da je već ranije formuliran.

Prvi dokaz teorema objavljen je 1736. godine, a pripada Švicarcu, Nijemcu i matematičaru i mehaničaru, Leonhardu Euleru. Fermatov mali teorem poseban je slučaj Eulerovog teorema.

Primjer problema

Pronađite ostatak broja 2¹² on 12.

Riješenje

Zamislimo broj 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 je prost broj, stoga Fermatovom malom teoremu dobivamo:

2¹¹ 2 JPY (protiv 11).

Stoga, 2⋅2¹¹ 4 JPY (protiv 11).

Dakle, broj 2¹² podijeli 12 s ostatkom jednakim 4.