Sustav linearnih algebarskih jednadžbi

U ovoj publikaciji razmotrit ćemo definiciju sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE), kako izgleda, koje vrste postoje, kao i kako ga predstaviti u matričnom obliku, uključujući i prošireni.

Definicija sustava linearnih jednadžbi

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi (ili skraćeno “SLAU”) je sustav koji općenito izgleda ovako:

• m je broj jednadžbi;
• n je broj varijabli.
• x₁,x₂,…, x_n – nepoznato;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – koeficijenti za nepoznanice;
• b₁, b₂,…, b_m – besplatni članovi.

Indeksi koeficijenata (a_ij) formiraju se na sljedeći način:

• i je broj linearne jednadžbe;
• j je broj varijable na koju se koeficijent odnosi.

SLAU rješenje – takve brojke c₁, C₂,…, c_n , u čijoj postavci umjesto x₁,x₂,…, x_n, sve jednadžbe sustava pretvorit će se u identitete.

Vrste SLAU

1. homogen – svi slobodni članovi sustava jednaki su nuli (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogena – ako gornji uvjet nije ispunjen.
3. Trg – broj jednadžbi jednak je broju nepoznanica, tj m = n.

   

4. Nedovoljno određen – broj nepoznanica je veći od broja jednadžbi.

   

5. poništeni Ima više jednadžbi nego varijabli.

   

Ovisno o broju rješenja, SLAE može biti:

1. Zajednički ima barem jedno rješenje. Štoviše, ako je jedinstven, sustav se naziva definitivnim, ako postoji više rješenja, naziva se neodređenim.

   

   Gornji SLAE je zajednički, jer postoji barem jedno rješenje: x = 2, y = 3.

2. inkompatibilan Sustav nema rješenja.

   

   Desne strane jednadžbi su iste, ali lijeve nisu. Dakle, rješenja nema.

Matrični zapis sustava

SLAE se može predstaviti u obliku matrice:

AX = B

• A je matrica koju čine koeficijenti nepoznanica:

  

• X – stupac varijabli:

  

• B – stupac slobodnih članova:

  

Primjer

Sustav jednadžbi u nastavku predstavljamo u obliku matrice:

Pomoću gornjih obrazaca sastavljamo glavnu matricu s koeficijentima, stupcima s nepoznatim i slobodnim članovima.

Kompletan zapis zadanog sustava jednadžbi u matričnom obliku:

Proširena SLAE matrica

Ako se matrici sustava A dodajte stupac besplatnih članova s ​​desne strane B, odvajajući podatke okomitom trakom, dobivate proširenu matricu SLAE.

Za gornji primjer to izgleda ovako:

– oznaka proširene matrice.