Dizanje kompleksnog broja na prirodni stepen

U ovoj publikaciji razmotrit ćemo kako se složeni broj može podići na potenciju (uključujući korištenje De Moivreove formule). Teorijsko gradivo popraćeno je primjerima radi boljeg razumijevanja.

Dizanje kompleksnog broja na potenciju

Prvo zapamtite da kompleksni broj ima opći oblik: z = a + bi (algebarski oblik).

Sada možemo izravno pristupiti rješenju problema.

Kvadratni broj

Stupanj možemo predstaviti kao umnožak istih faktora, a zatim pronaći njihov umnožak (dok to zapamtimo i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Primjer 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Također možete koristiti, naime kvadrat zbroja:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Bilješka: Na isti način, po potrebi, mogu se dobiti formule za kvadrat razlike, kub zbroja/razlike itd.

N-ti stupanj

Podići složeni broj z u naturi n puno lakše ako se prikaže u trigonometrijskom obliku.

Podsjetimo se da, općenito, zapis broja izgleda ovako: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Za potenciranje, možete koristiti De Moivreova formula (nazvan tako po engleskom matematičaru Abrahamu de Moivreu):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formula se dobiva zapisom u trigonometrijskom obliku (moduli se množe, a argumenti zbrajaju).

Primjer 2

Podići složeni broj z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) do osmog stupnja.

Riješenje

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).