Vađenje korijena kompleksnog broja

U ovoj publikaciji ćemo pogledati kako možete izvaditi korijen kompleksnog broja, a također kako to može pomoći u rješavanju kvadratnih jednadžbi čija je diskriminanta manja od nule.

Vađenje korijena kompleksnog broja

Korijen

Kao što znamo, nemoguće je izvaditi korijen iz negativnog realnog broja. Ali kada su u pitanju složeni brojevi, ova radnja se može izvesti. Hajdemo shvatiti.

Recimo da imamo broj z = -9. Forum √-9 postoje dva korijena:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Provjerimo dobivene rezultate rješavanjem jednadžbe z² = -9, ne zaboravljajući to i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Dakle, to smo dokazali -3i и 3i su korijeni √-9.

Korijen negativnog broja obično se piše ovako:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i i tako dalje

Korijen na potenciju n

Pretpostavimo da su nam zadane jednadžbe oblika z = ⁿ√w… Ima n korijenje (z₀, Ili₁, Ili₂,…, z_n-1), koji se može izračunati pomoću formule u nastavku:

|w| je modul kompleksnog broja w;

φ – njegov argument

k je parametar koji ima vrijednosti: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadratne jednadžbe sa kompleksnim korijenima

Izdvajanje korijena negativnog broja mijenja uobičajenu ideju uXNUMXbuXNUMXb. Ako je diskriminant (D) manje od nule, tada ne mogu postojati pravi korijeni, ali se mogu prikazati kao kompleksni brojevi.

Primjer

Riješimo jednadžbu x² – 8x + 20 = 0.

Riješenje

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, ali još uvijek možemo uzeti korijen negativne diskriminacije:

√D = √-16 = ±4i

Sada možemo izračunati korijene:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Prema tome, jednadžba x² – 8x + 20 = 0 ima dva kompleksna konjugirana korijena:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i