Sadržaj
U ovoj publikaciji ćemo razmotriti definiciju ranga matrice, kao i metode pomoću kojih se ona može pronaći. Također ćemo analizirati primjere kako bismo pokazali primjenu teorije u praksi.
Određivanje ranga matrice
Rang matrice je rang njegovog sustava redaka ili stupaca. Svaka matrica ima svoje redove i stupce koji su međusobno jednaki.
Poredak sustava redova je najveći broj linearno neovisnih redaka. Na sličan način određuje se i rang sustava kolona.
Napomene:
- Rang nulte matrice (označeno simbolom "θ“) bilo koje veličine je nula.
- Rang bilo kojeg vektora retka ili vektora stupca koji nije nula jednak je jedan.
- Ako matrica bilo koje veličine sadrži barem jedan element koji nije jednak nuli, tada njen rang nije manji od jedan.
- Rang matrice nije veći od njene minimalne dimenzije.
- Elementarne transformacije izvedene na matrici ne mijenjaju njen rang.
Određivanje ranga matrice
Metoda fringing minor
Rang matrice je jednak maksimalnom redu različite od nule.
Algoritam je sljedeći: pronađite manje od najnižih do najviših. Ako je manji nred nije jednak nuli, a svi sljedeći (n+1) jednaki su 0, pa je rang matrice n.
Primjer
Da bi bilo jasnije, uzmimo praktični primjer i pronađimo rang matrice A u nastavku, koristeći metodu obrubljivanja minora.
Riješenje
Radi se o matrici 4 × 4, stoga njen rang ne može biti veći od 4. Također, u matrici postoje elementi različiti od nule, što znači da njen rang nije manji od jedan. Pa počnimo:
1. Počnite provjeravati maloljetnici drugog reda. Za početak, uzimamo dva reda prvog i drugog stupca.
Minor je jednak nuli.
Stoga prelazimo na sljedeći minor (ostaje prvi stupac, a umjesto drugog uzimamo treći).
Minor je 54≠0, tako da je rang matrice najmanje dva.
Bilješka: Ako se ispostavi da je ovaj minor jednak nuli, dodatno bismo provjerili sljedeće kombinacije:
Ako je potrebno, nabrajanje se može nastaviti na isti način s nizovima:
- 1 i 3;
- 1 i 4;
- 2 i 3;
- 2 i 4;
- 3 i 4.
Kad bi svi minori drugog reda bili jednaki nuli, tada bi rang matrice bio jednak jedan.
2. Skoro odmah smo uspjeli pronaći maloljetnicu koja nam odgovara. Pa krenimo dalje maloljetnici trećeg reda.
Nađenom molu drugog reda, koji je dao rezultat različit od nule, dodajemo jedan redak i jedan od stupaca označenih zelenom bojom (počinjemo od drugog).
Pokazalo se da je minor nula.
Stoga mijenjamo drugi stupac u četvrti. I iz drugog pokušaja uspijevamo pronaći minor koji nije jednak nuli, što znači da rang matrice ne može biti manji od 3.
Bilješka: ako bi se rezultat opet pokazao nula, umjesto drugog reda, uzeli bismo četvrti dalje i nastavili potragu za “dobrim” minorom.
3. Sada ostaje odrediti maloljetnici četvrtog reda na temelju onoga što je ranije pronađeno. U ovom slučaju, to je onaj koji odgovara determinanti matrice.
Minor je jednak 144≠0. To znači da rang matrice A jednako 4.
Redukcija matrice na stepenasti oblik
Rang matrice koraka jednak je broju njenih redova koji nisu nula. Odnosno, sve što trebamo učiniti je dovesti matricu u odgovarajući oblik, na primjer, pomoću , koji, kao što smo gore spomenuli, ne mijenjaju njen rang.
Primjer
Odredite rang matrice B ispod. Ne uzimamo previše složen primjer, jer nam je glavni cilj jednostavno pokazati primjenu metode u praksi.
Riješenje
1. Prvo oduzmite udvostručeni prvi od drugog retka.
2. Sada oduzmite prvi red od trećeg reda, pomnoženo s četiri.
Dakle, dobili smo matricu koraka u kojoj je broj redaka različitih od nule jednak dva, stoga je i njen rang jednak 2.