U ovoj publikaciji razmotrit ćemo jedan od klasičnih teorema afine geometrije - Ceva teorem, koji je dobio takvo ime u čast talijanskog inženjera Giovannija Ceva. Također ćemo analizirati primjer rješavanja problema kako bismo učvrstili prezentirano gradivo.
Izjava teorema
Zadani trokut abeceda, u kojoj je svaki vrh povezan s točkom na suprotnoj strani.
Tako dobivamo tri segmenta (AA', BB' и CC'), koji se nazivaju cevians.
Ti se segmenti sijeku u jednoj točki ako i samo ako vrijedi sljedeća jednakost:
|I'| |NE'| |CB'| = |PRIJE KRISTA'| |SHIFT'| |AB'|
Teorem se može prikazati i u ovom obliku (određuje se u kojem omjeru točke dijele stranice):
Cevaov trigonometrijski teorem
Napomena: svi kutovi su orijentirani.
Primjer problema
Zadani trokut abeceda s točkicama DO', B ' и VS ' sa strane BC, AC и AB, odnosno. Vrhovi trokuta povezani su sa zadanim točkama, a formirani segmenti prolaze kroz jednu točku. Istovremeno, bodovi DO' и B ' uzeti u središtima odgovarajućih suprotnih stranica. Saznajte u kojem omjeru točka VS ' dijeli stranu AB.
Riješenje
Nacrtajmo crtež prema uvjetima zadatka. Radi naše udobnosti, usvajamo sljedeću oznaku:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Ostaje samo sastaviti omjer segmenata prema Ceva teoremu i zamijeniti prihvaćeni zapis u njega:
Nakon redukcije razlomaka dobivamo:
Stoga, AC' = C'B, odnosno točka VS ' dijeli stranu AB pola.
Stoga, u našem trokutu, segmenti AA', BB' и CC' su medijani. Nakon što smo riješili zadatak, dokazali smo da se sijeku u jednoj točki (vrijedi za svaki trokut).
Bilješka: pomoću Cevinog teorema može se dokazati da se u trokutu u jednoj točki sijeku i simetrale ili visine.