U ovoj publikaciji razmotrit ćemo jedan od glavnih teorema euklidske geometrije - Stewartov teorem, koji je dobio takvo ime u čast engleskog matematičara M. Stewarta, koji ga je dokazao. Također ćemo detaljno analizirati primjer rješavanja problema za konsolidaciju predstavljenog materijala.
Izjava teorema
Dan trokut abeceda. Uz njega AC uzeta točka D, koji je povezan s vrhom B. Prihvaćamo sljedeće oznake:
- AB = a
- prije Krista = b
- BD = str
- AD = x
- DC = i
Za ovaj trokut vrijedi jednakost:
Primjena teorema
Iz Stewartovog teorema mogu se izvesti formule za pronalaženje medijana i simetrala trokuta:
1. Duljina simetrale
Dopustite da vas lc je simetrala povučena na stranu c, koji je podijeljen na segmente x и y. Uzmimo druge dvije stranice trokuta kao a и b… U ovom slučaju:
2. Srednja duljina
Dopustite da vas mc je medijan okrenut prema dolje u stranu c. Označimo druge dvije stranice trokuta kao a и b… Zatim:
Primjer problema
Zadani trokut ABC. Na strani AC jednak 9 cm, uzeta točka D, koji dijeli stranicu tako da AD duplo duže DC. Duljina segmenta koji povezuje vrh B i točka D, iznosi 5 cm. U ovom slučaju, formirani trokut SAD je jednakokračan. Pronađite preostale stranice trokuta abeceda.
Riješenje
Prikažimo uvjete problema u obliku crteža.
AC = AD + DC = 9 cm. AD duže DC dvaput, tj AD = 2DC.
Posljedično 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Tako, DC =3 cm, AD = 6 cm.
Jer trokut SAD – jednakokračan, a bočno AD je 6 cm, pa su jednaki AB и BDIe AB = 5 cm.
Ostaje samo pronaći BC, izvodeći formulu iz Stewartovog teorema:
Zamjenjujemo poznate vrijednosti u ovaj izraz:
Na taj način, BC = √52 ≈ 7,21 cm.