Što je granica funkcije

U ovoj publikaciji razmotrit ćemo jedan od glavnih pojmova matematičke analize – limit funkcije: njegovu definiciju, kao i različita rješenja s praktičnim primjerima.

Određivanje limita funkcije

Ograničenje funkcije – vrijednost kojoj teži vrijednost ove funkcije kada njen argument teži graničnoj točki.

Zapis ograničenja:

• granica je označena ikonom lim;
• ispod se dodaje kojoj vrijednosti teži argument (varijabla) funkcije. Obično ovo x, ali ne nužno, na primjer:x→1″;
• tada se sama funkcija dodaje s desne strane, na primjer:

  

Dakle, konačni zapis limita izgleda ovako (u našem slučaju):

Čita se kao “limit funkcije dok x teži jedinici”.

x→ 1 – to znači da “x” dosljedno poprima vrijednosti koje se beskonačno približavaju jedinici, ali se nikada neće podudarati s njom (neće biti dostignuta).

Granice odluke

Sa zadanim brojem

Riješimo gornju granicu. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite jedinicu u funkciji (jer x→1):

Stoga, da bismo riješili granicu, prvo pokušavamo jednostavno zamijeniti dati broj u funkciju ispod njega (ako x teži određenom broju).

S beskrajom

U tom slučaju argument funkcije beskonačno raste, tj. "X" teži beskonačnosti (∞). Na primjer:

If x→∞, tada data funkcija teži minus beskonačnosti (-∞), jer:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 itd.

Još jedan složeniji primjer

Kako biste riješili ovu granicu, jednostavno povećajte vrijednosti x i pogledajte "ponašanje" funkcije u ovom slučaju.

• RџSЂRo x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRo x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRo x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Dakle, za "X"koja teži beskonačnosti, funkcija x² +3x –6 raste unedogled.

Uz neizvjesnost (x teži beskonačnosti)

U ovom slučaju govorimo o granicama, kada je funkcija razlomak, čiji su brojnik i nazivnik polinomi. pri čemu "X" teži beskonačnosti.

Primjer: izračunajmo granicu ispod.

Riješenje

Izrazi i u brojniku i u nazivniku teže beskonačnosti. Može se pretpostaviti da će u ovom slučaju rješenje biti sljedeće:

Međutim, nije sve tako jednostavno. Da bismo riješili limit, moramo učiniti sljedeće:

1. Pronađi x na najveću potenciju za brojnik (u našem slučaju to je dvojka).

2. Slično definiramo x na najveću potenciju za nazivnik (također jednako dva).

3. Sada dijelimo i brojnik i nazivnik sa x u višem stupnju. U našem slučaju, u oba slučaja – u drugom, ali ako su različiti, trebali bismo uzeti najviši stupanj.

4. U dobivenom rezultatu svi razlomci teže nuli, stoga je odgovor 1/2.

Uz nesigurnost (x teži određenom broju)

I brojnik i nazivnik su polinomi, međutim, "X" teži određenom broju, a ne beskonačnosti.

U ovom slučaju uvjetno zatvaramo oči pred činjenicom da je nazivnik nula.

Primjer: Pronađimo granicu funkcije ispod.

Riješenje

1. Prvo, zamijenimo broj 1 u funkciju, kojoj "X". Dobivamo neizvjesnost oblika koji razmatramo.

2. Zatim rastavljamo brojnik i nazivnik na faktore. Da biste to učinili, možete koristiti skraćene formule množenja, ako su prikladne, ili.

U našem slučaju, korijeni izraza u brojniku (2x² – 5x + 3 = 0) su brojevi 1 i 1,5. Stoga se može predstaviti kao: 2(x-1)(x-1,5).

Nazivnik (x–1) u početku je jednostavan.

3. Dobivamo tako modificiranu granicu:

4. Razlomak se može smanjiti za (x–1):

5. Ostaje samo zamijeniti broj 1 u izrazu dobivenom ispod granice: